ECUACIONES CUADRÁTICAS

Ecuación y Función cuadrática

Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Te invitamos a estudiar esta materia de 3° medio con el siguiente recurso desarrollado por educarchile.

Ecuación Función cuadrática
1. Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla obtendrás dos soluciones posibles: x₁  y x₂ .      
La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma:

Ax²+ B x + C =0 (con A ? 0)

Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C.
1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas
1. Por factorización
Podremos resolver una  ecuación del tipo:   x²  - 12x -  28 = 0, por este método solo si el  trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo producto sea  28). En este ejercicio, los números son  -14 y 2, porque la suma de ellos es igual a  -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0  o bien (x + 2) = 0.
A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2.
Recíprocamente, podemos generalizar que si x₁ y x₂ son las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces  la ecuación (x – x₁)• (x – x₂) = 0 es un producto de binomios con 1 término común y corresponde a  x² – x₁• x – x₂• x + x₁• x₂  = 0, que si se factoriza en x² resulta:  x² - (x₁ + x₂)• x + x₁  x₂ = 0. Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las soluciones.
Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo binomios de la forma: X² – B². Por ejemplo: x² – 81 = 0, el que se factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)• (x – 9) = 0, determinando las soluciones x₁ = -9 y x₂ = 9.
2. Utilizando la fórmula
Todas las ecuaciones cuadráticas: ax² + b x + c = 0   (con a ? 0) Se pueden resolver utilizando la   fórmula:

Ejemplo:
Resolver la ecuación   x² – 10x + 24 = 0
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: 

 

determinando así las soluciones   x₁ = 6 o x₂ = 4
3. Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x² – 6x + 8 = 0
Con los términos x² y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio  (x – 3)²
Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio:
x² – 6x + 8 = 0           /+9
x² – 6x + 9 + 8 = 9     / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto 
(x – 3)² + 8 = 9
(x – 3)² = 1
Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que    x₁ = 4 o x₂  = 2
4. Despejando la incógnita
En algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las soluciones.
Ejemplo: 
(x + 8)² + 15 = 136     / restamos 15
(x + 8)² = 136 – 15     / aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdad
x + 8 = , entonces x₁ = 11 – 8 o bien x₂ = -11 – 8, por  tanto : x₁ = 3  y  x₂ = -19   
1.3 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas
Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a su cuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación?
Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en:
(2x – 1)² = x² + 5
donde el binomio (2x – 1)² corresponde al cuadrado del antecesor del doble de un número entero, y el binomio X² + 5 corresponde al cuadrado del número entero aumentado en 5 unidades. 
Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:
3x² – 4x – 4 = 0
Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4

Por lo tanto x₁ = 2 o x₂ = -2/3
Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es x = 2.
Ejemplo:
Un triángulo tiene un área de 24 cm² y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación)
Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área:    

La ecuación que resuelve el problema es:

Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x² + 2x – 48 = 0
Factorizando: (x – 6)(x + 8) = 0    x = 6 o x = -8
Como x es una longitud, la solución descarta los números negativos, por lo tanto x = 6 (la base es 6) y la altura mediría 8 cm.  
1.4 Naturaleza de una ecuación cuadrática
Hemos visto que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: ax² + bx + c = 0 con a ? 0, se pueden obtener según la expresión:

La cantidad subradical: (b² – 4ac) se llama discriminante y se denomina con la letra griega delta: ?. Nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática.
Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;  si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si ? es positivo, las soluciones son dos números reales y distintos.
Resumie

Raíces

Véase también: Ecuación de segundo grado

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales . Son denotadas habitualmente como: y , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como .

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

.

·         Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero:

·         La parábola es tangente al eje X.

·         La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo. En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados:

Representación analítica

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada o polinómica

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

con .

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

siendo a el coeficiente principal de la función, y y las raíces de . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces por lo que la factorización adquiere la forma:

En este caso a se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.²

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación gráfica

Intersección con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.
A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

es decir:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

.

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremo

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Dada la función en su forma desarrollada: , la coordenada x del vértice será simplemente: . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.
Dada la forma canónica: , las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)
la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:
Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos: